Μία επι πλέον λύση...

Η λύση αυτή σχετίζεται προς το κεφάλαιο «17. Η λύσις διά της σκιάς που “περπατάει”.» του βιβλίου και ανέκυψε κατά την παρουσίαση αυτής της λύσης εις το φόρουμ της Μαθηματικής Κοινότητας και, συγκεκριμένα, εδώ:
Απ: Μη συκοφαντείτε τον Θαλή...

Επαναλαμβάνω τα δημοσιευθέντα εις την εν λόγω παρουσίαση αναπροσαρμοσμένα: Π.χ., χωρίς τις αποκρύψεις (Spoiler) ορισμένων μερών, που υπάρχουν, εκεί, διότι, εδώ, δεν τίθεται ως ...άσκηση. Όποιος αναγνώστης θέλει να ασκηθεί, ας μην αναγνώσει τα επόμενα και ας μεταβεί εις την εν λόγω τοποθεσία..

« Απάντηση #16 στις: Δευτέρα 23 Δεκεμβρίου 2013, 14:36 »
Η λύση που θα παραθέσω, τώρα, νομίζω πως είναι η καταλληλότερη. Δεν υπάρχει εις το βιβλίο που έχω αναφέρει σε προηγούμενες δημοσιεύσεις, διότι, απλούστατα, δεν την είχα σκεφθεί. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν θα μπορούσε να την έχει σκεφθεί και ο Θαλής...:

Λοιπόν, ένα πρωΐ ο Θαλής, πηγαίνοντας κοντά στην πυραμίδα, βλέπει την σκιά της που είναι το μη κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΜ. Το Μ είναι η σκιά της κορυφής της Κ την οποία βλέπει. (Δεν βλέπει όμως το κέντρο της βάσεώς της, το Η.)
Εις το σημείο Μ τοποθετεί μία κατακόρυφη ράβδο την Κ΄Μ και έστω ΜΜ΄ η σκιά της.
Εις το σημείο Μ΄ τοποθετεί ένα πάσσαλο γιά να έχει το σημείο (επειδή η σκιά της ράβδου, εν όσω, αυτός, θα κάμνει τους υπολογισμούς του, θα μετακινείται).

Εκ του σημείου Μ κατασκευάζει την ΜΝ κάθετο επί την μεσοκάθετο, ΗΝ, της ΒΓ.

Εκ του σημείου Μ κατασκευάζει την ΜΝ΄ παράλληλο προς την ΗΝ.

Εκ του σημείου Μ΄ κατασκευάζει την Μ΄Ν΄, κάθετο επί την ΜΝ΄.

Τώρα έχει τέσσερα ζεύγη ομοίων τριγώνων, τα εξής:

1ον: ΜΜ΄Ν΄, ΗΜΝ.
2ον: Κ΄ΜΜ΄, ΚΗΜ.
3ον: Κ΄Μ΄Ν΄, ΚΜΝ.
4ον: Κ΄ΜΝ΄, ΚΗΝ.

Αυτά, “του φτάνουν και του περισσεύουν” προκειμένου να υπολογίσει το ύψος της πυραμίδος...
...

Τώρα, προκειμένου να συνδέσουμε, αυτή την περίπτωση, με εκείνη που την προεκάλεσε, ας υποθέσουμε, πως, ο Θαλής, δεν εσκέφθη να πράξει τίποτε από αυτά... 
Πάει, λοιπόν, ...για καφέ (να σκεφθεί με την ησυχία του) και κατά ο μεσημεράκι, επιστέφει... Και τότε, ευρίσκει την λύση,... να είναι εκεί και να ...τον περιμένει!
Τί μεσολάβησε κατά την διάρκεια της απουσίας του;


« Απάντηση #18 στις: Σήμερα στις 13:31 »
Σημείωση:
Η συνέχεια σχετίζεται προς το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «17. Η λύσις διά της σκιάς που “περπατάει”.» (http://thales-pyramis.blogspot.gr/2013/11/blog-post_29.html), του βιβλίου που έχω ήδη αναφέρει. Εκεί, περιέχονται και άλλες απόψεις οι οποίες, όμως, δεν είναι απαραίτητες διά την κατανόηση του “αυστηρώς” μαθηματικού μέρους της απάντησης.
...
Αυτό που μεσολάβησε κατά την διάρκεια της απουσίας του Θαλή, ήταν ότι η σκιές της κορυφής της πυραμίδος και του άνω άκρου της ράβδου ...περπάτησαν από των σημείων Μ και Μ΄ εις τα σημεία Λ και Λ΄, αντιστοίχως.

Τώρα, ο Θαλής, έχει ενώπιόν του τρία ζεύγη ομοίων τριγώνων, τα εξής:
1ον: Κ΄ΜΜ΄, ΚΗΜ.
2ον: Κ΄ΜΛ΄, ΚΗΛ.
3ον: Κ΄Λ΄Μ΄, ΚΛΜ.
Αυτά, “του φτάνουν και του περισσεύουν” προκειμένου να υπολογίσει το ύψος της πυραμίδος...

Υπάρχει όμως ένα μικρό πρόβλημα: Εάν ο Θαλής δεν είχε κάποιον βοηθό, δεν θα μπορούσε να ορίσει ταυτοχρόνως τα σημεία Λ και Λ΄.
Η βάδιση (π.χ.) από του σημείου Λ εις το σημείο Λ΄ δεδομένων των διαστάσεων της πυραμίδος, μπορεί να διαρκούσε 3-5 λεπτά. Κατά το διάστημα αυτό, τα εν λόγω σημεία θα είχαν μετατοπισθεί, κατά ένα διάστημα το οποίο δεν μπορεί να θεωρηθεί “αμελητέο”. Αρκεί να παρατηρήσουμε το πόσο μετατοπίζεται η σκιά της κορυφής ενός στύλου της ΔΕΗ εντός ενός λεπτού και να σκεφθούμε ότι το ύψους της πυραμίδος είναι υπερ-15-πλάσιο...
Εν προκειμένω, ο Θαλής, μπορεί να ενήργησε ως εξής:
Σημειώνει το σημείο Λ, βαδίζει (ισοταχώς) μέχρι του σημείου Λ΄, το σημειώνει και επιστρέφει εις το σημείο Λ το οποίο, εν τω μεταξύ, έχει μετακινηθεί εις το σημείο Ρ. (Δεν εμφανίζεται εις το σχήμα διότι το σχετικό κείμενο ήταν αποκρυμμένο.) Υποθέτοντας ότι η “κίνηση” του “Λ” ήταν ευθύγραμμη και ισοταχής, λέγει:
«Την στιγμή που, εγώ, σημείωνα το Λ΄, το “Λ” ήταν στο μέσον του ΛΡ.»
Κτλ..

Κατασκευές άνευ χρήσεως του διαβήτου. (Υπό κατασκευήν...)

Aυτή η ανάρτηση σχετίζεται προς ένα κεφάλαιο του βιβλίου που παρουσιάζεται εις το συζυγές blog υπό τον τίτλο: «3. Η λιτότητα της γεωμετρίας». (Εκεί, υπάρχει η κατασκευή του μέσου ενός τμήματος ευθείας διά της αποκλειστικής χρήσεως κανόνος και μεταφορέως).
Επισπεύδεται η δημοσίευση εξ αφορμής ενός σχολίου του MEGLIOGIOVENTU, εδώ.
Λοιπόν, ας αρχίσουμε με την κατασκευή της παραλλήλου προς δοθείσα ευθεία (ε) διά σημείου Μ εκτός αυτής.
Η κατασκευή θα πραγματοποιηθεί άνευ της χρήσεως του διαβήτου, ήτοι διά του κανόνος και του μεταρορέως ο οποίος είναι ένας ...διαβήτης που δεν γράφει. Από θεωρητικής απόψεως η κατασκευή γίνεται άνευ της χρήσεως του 3ου ευκλειδείου αιτήματος («Και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι»):
Έστω η ευθεία (ε) και τυχόν σημείο Μ εκτός αυτής.

Θεωρούμε τυχόν σημείο Α, της (ε) και κατασκευάζουμε (διά του μεταφορέως) το σημείο Λ επί της ΜΑ και προς το μέρος του Α προς το οποίο δεν κείται το Μ, τέτοιο ώστε: ΑΛ = ΜΑ.

Θεωρούμε τυχόν σημείο Β, της (ε) και κατασκευάζουμε (διά του μεταφορέως) το σημείο Ν επί της ΛΒ και προς το μέρος του Β προς το οποίο δεν κείται το Λ, τέτοιο ώστε: ΒΝ = ΛΒ.

Η ευθεία ΜΝ είναι η διά του Μ παράλληλος προς την ευθεία (ε).

Το στοίχημα και η ...“κατεργαριά”:

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

Πάντοτε ήθελα να αποδείξω πως, ο οποιοσδήποτε και αν ευρίσκετο εις την θέση του Θαλού, θα επέλυε το πρόβλημα που λέγουν ότι δεν μπορούσε να επιλύσει ο Θαλής. Ήθελα να το αποδείξω πειραματικά... Μόνον έτσι θα μπορούσαν να επαληθευθούν τα λόγια του ...ξυλουργού εις την αρχή του κεφαλαίου υπό τον τίτλο: «14. Η λύσις της ταβέρνας.» Αλλά δεν μπορούσα να εύρω την κατάλληλη ευκαιρία... Όταν η ευκαιρία εδόθη, την αξιοποίησα κατά τρόπον ο οποίος ...θέτει εκ νέου το ερώτημα περί του αν ...«ο σκοπός αγιάζει τα μέσα»...

Ας αρχίσουμε με...:

Το μήνυμα που δημοσίευσα, κάπου αλλού:

Πρόκειται περί ενός μηνύματος δημοσιευμένου σε ένα φόρουμ το οποίο (παρά την μικρή, σχετική, πείρα που έχω) το θεωρώ εξαιρετικό, αυτό:

http://www.mathematica.gr/forum/index.php

Εις το μήνυμα που αναφέρω, υπάρχει μία παραπομπή προς αυτήν, εδώ, την ανάρτηση.

Το ζήτημα προέκυψε κατά την διεξαγωγή της συζήτησης επί ενός “προβλήματος” που είχα θέσει, εκεί. Αυτό το πρόβλημα, το παραθέτω εις το τέλος αυτής της αναρτήσεως.

...

Το μήνυμα εις το εν λόγω φόρουμέχει ως εξής: 

Το στοίχημα και η ...“κατεργαριά”:

Αγαπητοί φίλοι,

το θέμα, φαίνεται πως έχει εξαντληθεί... Και, όμως, ευρίσκεται εις την αρχή...

Η επανατροφοδότησή του την οποία πρέπει να προκαλέσω, κωλύεται εξ αιτίας της αμηχανίας που μου προεκάλεσε μία ...“κατεργαριά” που έχω διαπράξει εις βάρος των συνομιλητών μου και την οποία θα ήθελα, προ πολλού, να εξομολογήσω/αποκαλύψω (και διά να κριθώ) αλλά, φοβόμουν ότι, έτσι, το πράγμα θα χειροτέρευε.

Πάντως, η (περαιτέρω) απόκρυψη της αληθείας (και δη μεταξύ μαθηματικών) αποκλείεται.

Λοιπόν, θα τα πω όσο πιο απλά γίνεται.

Η μυθιστορηματική και η πειραματική απόδειξη:

Έχω συντάξει μία πραγματεία, υπό μορφήν αφηγήματος, σχετικώς με τον τρόπο ή, μάλλον, με τους τρόπους διά των οποίων θα ήταν δυνατόν, ο Θαλής να υπολογίσει το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος... Και όχι μόνον, ο Θαλής, αλλά όποιος ετίθετο ενώπιον του προβλήματος – αρκεί να είχε στοιχειώδεις γεωμετρικές αλλά και τεχνικές γνώσεις. Αυτή είναι η κεντρική παραδοχή του αφηγήματος περί της οποίας παρέχεται μία ...μυθιστορηματική απόδειξη. Αναζητούσα (και αναζητώ) τρόπους ώστε, αυτή η απόδειξη, να γίνει και “πειραματική”: Π.χ., να θέσω το πρόβλημα ενώπιον ανθρώπων (π.χ. παιδιών) οι οποίοι αγνοούν τα ευρέως διαδιδόμενα (τα έχω, ήδη, αναφέρει και, ίσως, να τα επαναλάβω).

Το στοίχημα, η απάτη, η προσβολή και η πλήξη:

Όταν ήλθα διά πρώτην φορά εις το φόρουμ σας (θα έπρεπε να το είχα κάμει νωρίτερα...) και διεπίστωσα το υψηλό επίπεδο, είπα σε ένα φίλο και συνεργάτη μου:

«Στοιχηματίζω ότι εάν θέσω το πρόβλημα (που υποτίθεται ότι δεν μπορούσε να επιλύσει ο Θαλής) εις αυτό το φόρουμ, προτού να περάσει μία ώρα, θα έχουν βρει την λύση».

Το πράγμα επαληθεύτηκε ...και ας ήταν και Κυριακή: Εντός μικροτέρου χρονικού διαστήματος, δύο συνομιλητές πρόλαβαν να το δουν (δεν θα το “πήραν χαμπάρι” και αμέσως...) και να δημοσιεύσουν λύσεις συνοδευόμενες και από σχήματα.

Το “στοίχημα” απαιτούσε, “πείραμα” και το “πείραμα” ειδικές συνθήκες... μεταξύ των οποίων και η άγνοια των μετεχόντων περί τίνος επρόκειτο. Και επειδή, εδώ, ουδείς αγνοεί το θέμα, επεχείρησα μία παραπλάνηση (εξ ου και η απλοϊκή ιστοριούλα εις την οποία το ενέταξα) την οποία απεκάλυψε ο Μιχάλης αλλ΄ αφού το πείραμα είχε συντελεστεί.

Όλα αυτά όμως, (ολίγον απέχουν από του να) συνιστούν κατάχρηση εμπιστοσύνης και απάτη. Η δε εξομολογία της δευτερώνει το κακό, διότι επιπροσθέτει και την προσβολή προς τους . Το κακό θα τριτώσει εάν προβώ εις πλήρη απολογία, διότι, εις τα προηγούμενα θα επιπροσθέσω και την ενδεχομένη πλήξη που θα προκαλέσω. (Όποιος θέλει ...να πλήξει, ας επισκευθεί ένα blog και την ανάρτησή υπό τον τίτλο «Το στοίχημα και η ...“κατεργαριά”». Αυτός δε είναι ένας πολύ “άκομψος” τρόπος πρόσλησης – ελπίζω ότι θα υπάρξουν και “κομψότεροι”.)

Το πειραματικό δεδομένο και το δεδομένο φαινόμενο:

Εν πάση περιπτώσει, έχουμε ενώπιόν μας το αποτέλεσμα ενός “πειράματος” το οποίο δεν επιδέχεται αμφισβήτηση...: Ο Θαλής (ο καθείς), μπορούσε να μετρήσει την απόσταση του κέντρου της βάσεως της πυραμίδος από το σημείο της σκιάς της κορυφής της ευκολότατα.

Ταυτοχρόνως, έχουμε ένα φαινόμενο:

Μία διαδεδομένη πεποίθηση περί του αντιθέτου η οποία επαναλαμβάνεται σε κάθε σχετική περίπτωση (βλέπε διαδίκτυο) και ουδαμού αμφισβητείται. Την πεποίθηση αυτή εκφράζει (και, ορισμένως, την προκαλεί) με τον καλλίτερο τρόπο, κάποιος (αποβιώσας το 2010) μαθηματικός, καθηγητής της ιστορίας των επιστημών, σε κάποιο γαλλικό πανεπιστήμιο. Εις την 63η σελίδα ενός βιβλίου του το οποίο επιθυμώ να μην αναφέρω (προβάλω) γράφει επί λέξει:

«Όταν η διεύθυνση των ακτίνων του ήλιου σχηματίζει μία τυχαία γωνία με την πλευρά της βάσης –πράγμα που είναι και το πιο συνηθισμένο–, η σκιά σχηματίζει ένα τυχαίο τρίγωνο και... ο Θαλής, δεν μπορεί να κάνει τίποτα.»

Το εν λόγω φαινόμενο, υπό το φως του αποτελέσματος του πειράματος γίνεται εκτυφλωτικό (...κυριολεκτικώς) και καλούμεθα να το ερμηνεύσουμε:

Προσωπικώς, απορώ:

«Πώς γίνεται, τόσοι ευφυείς μαθηματικοί, να αποδέχονται αναντιρρήτως μία τόσον απλοϊκή (και συκοφαντική θα έλεγα) εκδοχή διά την στάση του Θαλή απέναντι στο πρόβλημα» – όπως αυτή που περιέγραψα εις τα προηγούμενα σχόλιά μου.

Η εξήγηση που δίδω είναι ότι ...απορούν και λέγουν: «Μωρέ τί νά 'χει κάνει, ο Θαλής; ...Τί νά 'χει κάνει;»... και δεν σκέπτονται το τι θα έκαμαν αυτοί εάν ήσαν εις την θέση του... (εξ ου και η ανάγκη του ... “περάματος”).

Το προηγούμενο, σχετίζεται με τον τρόπο που αντιμετωπίζονται τα μαθηματικά (θεωρήματα κτλ), κυρίως από το εκπαιδευτικό σύστημα, ήτοι, ως “τετελεσμένα” ιστορικά γεγονότα – όχι ως θέματα προς μαθητική έρευνα.

«Είναι αληθές ότι “μας τελείωσαν” οι “Θαλήδες”;»

Αυτό, θα μπορούσα είναι τίτλος ενός θέματος που θα δημοσίευα, εδώ, εάν δεν ήταν τίτλος κεφαλαίου (του 33ου) του αφηγήματος που ανέφερα (οπότε θα είχαμε “γκρίζα διαφήμιση”).

Αλήθεια: όσοι “Θαλήδες”, “Πυθαγόρες”, κτλ, έχουν περάσει απαρατήρητοι από τα σχολικά θρανία επειδή κανένας δεν τους έθεσε ενώπιον των αυτών προβλημάτων που αντιμετώπισαν εκείνοι;

...

Εις το σημείο αυτό, νομίζω πως, το κείμενο άρχισε να κουράζει... Ας ακούσω και καμμία άλλη γνώμη προτού να συνεχίσω...

...

Εδώ, τελειώνει το μήνυμα εις το εν λόγω φόρουμ.

Η συνέχεια (συμπλήρωση) του μηνύματος που έχω αναρτήσει εις το φόρουμ που ανέφερα:

Όποιος (είχε την υπομονή και) ανέγνωσε ως εδώ, ίσως να έχει και την εντύπωση ότι ...“τα είπα όλα”. Αυτός ήταν και ο λόγος που δεν το συνέχισα εις το, εν λόγω φόρουμ: Διά να μη μου πουν:

«Ρε φίλε, μας “την έσκασες”, καλά-καλά – μη μας ζαλίζεις κι΄ από πάνω...»

Και όμως...: Απ΄ όσο ξέρω, δεν ήταν ...πρωταπριλιά. Λοιπόν, ποίο ήτο το “κίνητρο” ή, μάλλον, το “ίδιον όφελος”; Και, μήπως, αυτό, παρεβλάφθη, οπότε θα πρέπει να αναζητηθεί ένα υπέρτερο κίνητρο;

Αυτό το κίνητρο, θα το εκθέσω αναλυτικώς και ας υπάρξουν κάποιες πληκτικές επαναλήψεις:

1. Τα δεδομένα:

Έχω μελετήσει ενδελεχώς το θέμα του υπολογισμού του ύψους της Πυραμίδος του Χέοπος τον οποίο πραγματοποίησε ο Θαλής.

Έχω γράψει ένα σχετικό βιβλίο (υπάρχει, μόνον, σε μορφή PDF), και έχω δημιουργήσει ένα blog εις το οποίο αναρτώ, ένα-ένα, τα κεφάλαιά του ώστε να μπορεί κάποιος να διατυπώσει σχόλια και, όπου χρειάζεται, να απαντώ.

Έχω συντάξει και μία ανακοίνωση-πρόσκληση, την οποία κοινοποιώ εις τα διάφορα blog κτλ, που έχουν ασχοληθεί με το θέμα.

Η ανακοίνωση έχει ως εξής:

«Αγαπητοί φίλοι,

ελπίζοντας πως δεν ποιούμαι κατάχρησιν φιλοξενίας, σας ανακοινώνω τον τίτλο ενός blog και την επεξήγησή του. Νομίζω ότι σας ενδιαφέρει:

Τίτλος – Επεξήγηση:

Ξυλουργός, Θαλής και Πυραμίς (Αφήγημα σε συνέχειες.)

Υπότιτλος του βιβλίου (του εν λόγω αφηγήματος) είναι: «Η μέτρηση του ύψους της, έγινε ...εν τω μέσω της νυκτός». Πράγματι μεταξύ των πολλών τρόπων διά τον υπολογισμό του ύψους της Πυραμίδος του Χέοπος, οιανδήποτε ημέρα και ώρα, υπάρχουν και ορισμένοι που όχι μόνον δεν απαιτούν σκιά αλλ΄, ούτε καν φως. Εξ άλλου, τα περί σκιάς, είναι τόσο απλοϊκά, ώστε αποβαίνουν συκοφαντικά διά τον Θαλή και επιβλαβή δια την ορθοκρισία αυτού που θα τα πιστεύσει...

Η διεύθυνση του blog είναι η εξής:

http://thales-pyramis.blogspot.gr/»

...

2. Η συμμετοχή μου στο φόρουμ:

Τα προηγούμενα, ήταν ο κύριος λόγος δια τον οποίον επισκέφτηκα το φόρουμ που ανέφερα: Να τους θέσω το ζήτημα και να προκαλέσω μία σχετική συζήτηση εκεί. Διότι σε ένα φόρουμ (αγορά), η συζήτηση μεταξύ ανθρώπων που γνωρίζουν ένα θέμα μπορεί να γίνει πολύ ουσιαστική – πράγμα, αδύνατον, σε ένα blog. (Η “άγρα πελατείας” δεν είναι κάτι το αθέμιτο αλλά είναι ανόητο το να καλείς ανθρώπους να “πελάσουν” σε μία συζήτηση ολιγοπληθέστερη και μειωμένων δυνατοτήτων.)

...

Η κεντρική παραδοχή του βιβλίου και το κύριο θέμα της συζήτησης είναι ότι, αυτοί που ανερωτώνται: «μωρέ τί να είχε κάμει, ο Θαλής» (και επινονούν απλοϊκότητες) θα έπρεπε να σκεφθούν το τι θα έκαμαν εκείνοι, εάν ήσαν εις την θέση του. Και τότε θα εύρισκαν μία πλειάδα λύσεων. Αυτό, σχετίζεται με ένα μεγάλο πρόβλημα ή, χαρακτηριστικό της παρεχομένης μαθηματικής παιδείας: Ότι, δηλαδή, τα διάφορα θεωρήματα (κτλ) παρουσιάζονται ως ...τετελεσμένα ιστορικά γεγονότα ή, και ως αν ήταν ...κατορθώματα ηρώων. Ένα παιδί, βεβαίως, δεν μπορεί να γίνει ...“Ηρακλής”: Πρώτ΄ απ΄ όλα, ...πού να βρει λιοντάρι; – Αλλά, “Πυθαγόρας” μπορεί να γίνει... και “Θαλής”. Αρκεί να τεθεί ενώπιον των προβλημάτων που επελύθησαν διά των θεωρημάτων που επενόησαν εκείνοι: Λόγου χάριν μπορεί η “κουβέντα” να έλθει σε ένα τέτοιο σημείο ώστε να πούμε σε ένα παιδί:

«Τώρα, λοιπόν, θα σκαρφαλώσεις, στο κυπαρίσσι – σαν την μαϊμού (και θα ρίξεις, κάτω την μετροταινία...) – ή, έχεις κάποιο τρόπο να μετρήσεις το ύψος του από εδώ που ευρίσκεσαι; »

Το θέμα αυτό επανέρχεται διαρκώς εις το βιβλίο και ιδιαιτέρως εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο «33. Είναι αληθές ότι “μας τελείωσαν” οι “Θαλήδες”;»

...

Αναζητώντας το κατάλληλο σημείο του φόρουμ, διά την τοποθέτησή της ανακοίνωσης, “υποχρεώθηκα” να παρατηρήσω το υψηλό επίπεδο των συμμετεχόντων. Και τότε, σκέφθηκα κάτι που μου φάνηκε ...“έξυπνο”: Αντί την εν λόγω θέση, να την υποστηρίζω με μυθιστορηματικές αποδείξεις να την μετατρέψω σε αποτέλεσμα ενός πειράματος το οποίο θα πραγματοποιηθεί ενώπιον πολλών και, αυτό το αποτέλεσμα, να θέσω υπ΄ όψιν των συνομιλητών μου (αυτών που το είδαν)...

3. Περί της “κατεργαριάς”:

Δεν μπορούσα, βεβαίως, να παρουσιάσω ένα πρόβλημα εις το οποίο θα έλεγα (π.χ.) «υποθέστε ότι είσαστε ο Θαλής»... Διότι, ήταν πολύ πιθανόν, ο καθείς να αρχίσει να εξετάζει το τι έκαμε εκείνος, οπότε... «φέξε μου και γλίστρησα»... Θα έπρεπε, όποιος ασχολείτο με το πρόβλημα, να το έβλεπε απηλλαγμένο από την “ιδεολογική” φόρτιση που “κουβαλάει” (“ανυποψίαστος”), δηλαδή, ως ένα απλοϊκό προβληματάκι που που ...θα μου έκαμε και “μεγάλη χάρη”, εάν καταδεχόταν να ασχοληθεί με αυτό. Εξ ου και η παιδιάστικη διασκευή και ο τίτλος του. Εάν κάποιος, όπως ο Μιχάλης (κάποιος συμμετέχων εις το φόρουμ), αντελαβάνετο πρώτος-πρώτος ότι: «Το πρόβλημα, σε ισοδύναμη διατύπωση, είναι παμπάλαιο.» και ότι: «Ακριβώς το ίδιο πρόβλημα αντιμετώπισε ο Θαλής...», αυτό, θα ήταν μία ...κακοτυχία.

Παρασυρμένος από την “επινοητική εξυπνάδα” μου δεν συνειδητοποίησα ότι, αυτή, εμπριέχει κάτι το ανέντιμο ή/και ανήθικο (και δεν λησμόνησα να βάλω εισαγωγικά «“”» στις λέξεις), παρά μόνον αφού την διέπραξα. Ιδού:

Οι φίλοι που συμμετέσχον, έλαβαν μέρος σε ένα “πείραμα” χωρίς να ενημερωθούν ή/και να συναινέσουν. Αυτό (όπως είπα και εις το, εκεί, μήνυμα) συνιστά κατάχρηση εμπιστοσύνης και απάτη...

Υπάρχουν άνθρωποι οι οποίοι πιστεύουν ότι δεν βλάπτονται όταν προβαίνουν σε ενέργειες αντίθετες προς τα “χρηστά” ήθη. Αυτό, μάλλον, συμβαίνει εξ αιτίας της ελλιπούς γνώσεως της ελληνικής... Εμ, βέβαια: «Χρηστός», είναι ο χρήσιμος... Ο υποφαινόμενος εβλάφθη, πολλαπλώς...: Πρωτίστως διότι, η κρυψίνοια, του προκαλεί νοητική διαταραχή... Αυτό, βεβαίως, όποιος θέλει το πιστεύει... Αλλά, είναι φανερό ότι, διά της συμπεριφοράς του, επέφερε πλήγμα σε μία ενδεχόμενη, μελλοντική, συνεργασία ή/και φιλία μου μετ΄ αυτών (και όχι μόνων) που ...χρησιμοποίησε αθέμιτα. Το γεγονός ότι, η ενημέρωσή τους, θα ακύρωνε τις προϋποθέσεις του “πειράματος” δεν είναι επαρκής δικαιολογία, διότι «ο σκοπός» ΔΕΝ «αγιάζει τα μέσα». Ο «σκοπός» όμως πρέπει να επανεξεταστεί και δη υπό το φως του αποτελέσματος που προκάλεσαν αυτά τα «μέσα». Ίσως εκεί να ανευρεθεί η “αποζημίωση” του γράφοντος δια την βλάβη που υπέστη (ασχέτως του αν την προκάλεσε):

4. Ερώτημα:

Εάν η λύση του προβλήματος ήταν τόσο απλή (όπως κατεφάνη), διά τί τόσοι και τόσοι, νοήμονες μαθηματικοί έχουν αποδεχθεί ότι, ο Θαλής, αδυνατούσε να την εύρει και ότι περίμενε ...την μεσημβρίαν “εκείνης” την ...ευλογημένης μέρας (που έχω περιγράψει); Το διαδίκτυο είναι γεμάτο από αυτή την άποψη ενώ ουδαμού (εξ όσων γνωρίζω) δεν υπάρχει κάποια αμφισβήτησή της. Αντιθέτως, ορισμένοι, εν τη απορία τους, αποκαλούν «γρίφο» το πως κατόρθωσε ο Θαλής να επιτύχει το “θαύμα” και μάλιστα με τόση ακρίβεια (σχεδόν 99%).

Αυτό – νομίζω – είναι ένα ερώτημα το οποίο δεν μπορεί να παραμείνει ανεξέταστο.

...

Τελειώνοντας (προς το παρόν), ας μου επιτραπεί να παραθέσω την τελευταία παράγραφο από τον πρόλογο του αφηγήματος:

«Αυτή, η εξοικείωση με τις αναλήψεις θα κάμει τον ξυλουργό της αφήγησης να επιλύσει το εν λόγω πρόβλημα...(της εύρεσης του ύψους της πυραμίδος). Ο ίδιος θα δηλώσει σε μία προσωπική συζήτηση με ένα συνάδελφό του: «Καλά θα έκαμαν, όλοι αυτοί, οι “συγγραφείς”, αντί να προσπαθούν να βρουν τι έκαμε ο Θαλής, να κοιτούσαν το τι θα έκαμαν, αυτοί, στη θέση του... Οι περισσότεροι από δαύτους, γνωρίζουν κάποια γραμματάκια...» Αυτοί οι συγγραφείς, κάποτε, ήσαν μαθητές. Και οι τωρινοί μαθητές κάποτε, ίσως, θα γίνουν συγγραφείς... Όμως, η παιδεία εις την οποία μετέχουν αντιλαμβάνεται ή/και προβάλει τα μαθηματικά θεωρήματα (κτλ) ως τετελεσμένα ιστορικά γεγονότα. Όχι ως αποτελέσματα μίας προσπάθειας επίλυσης προβλημάτων τα οποία εάν ετίθεντο ενώπιον των παιδιών ίσως να ανακαλύπταμε ότι οι “Θαλήδες” και οι “Πυθαγόρες” (κτλ) δεν ...“μας τελείωσαν”.»

Το “πρόβλημα”, το τεθέν εις το φόρουμ:
Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.
Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)

 

Γεωμετρικοί Μηχανισμοί (προς το παρόν, ολίγα τινά...).

Εξ αφορμής ενός σχολίου το οποίο ευρίσκεται εδώ
Υπάρχει η άποψη ότι εις την γεωμετρία θεωρούμε μόνον ακίνητα αντικείμενα...
Υπάρχει και η άποψη ότι ...η θεωρία της ακινησίας άγει εις ακινησία τον θεωρό.
Οι θεωροί της ακινησίας ειρωνεύονται εκείνους που χρησιμοποιούν κινητικούς μηχανισμούς. Αυτή ταύτη η έκφραση: "κινητική γεωμετρία" είναι ειρωνική. Δεν έχουν, πάντοτε, άδικο: Ακόμη και ο ξυλουργός της ιστορίας μας, θα πει - σε μία συγκεκριμένη περίπτωση - εις τον συνάδελφό του: "φτιάχνεις ένα κανόνι διά να σκοτώσεις ένα κουνούπι"... Αλλά, υπάρχουν προβλήματα τα οποία επιλύονται μόνον διά κινητικών μηχανισμών και, αυτό, ως επίγνωση και ως πρόκληση ενδιαφέροντος και γνώσεων δεν πρέπει να υποτιμάται ούτε (λοιπόν) να αποσιωπάται. Ένα καλό παράδειγμα είναι το εξής:
Δίδεται γωνία φ, σημείον Μ, εσωτερικόν αυτής και τρήμα ευθείας μ.
Ζητούνται τα σημεία Χ και Ψ εφ΄ εκατέρων των πλευρών της γωνίας τέτοια ώστε:
ΧΨ = μ και το μ να διέρχεται διά του Μ.
Η λύση του προβλήματος επιτυγχάνεται διά ταυτοχρόνου ολισθήσεως των άκρων του μ επί των πλευρών της γωνίας έως ότου συναντήσει το Μ...
Οι κινητικοί μηχανισμοί, πολλάκις, απαιτούν (και καλλιεργούν) ιδιαίτερες γεωμετρικές δεξιότητες...
Μπορούμε να δούμε ένα (απλό) διδακτικό βίντεο υπό τον τίτλο "BLOSSOMS - Using Geometry to Design Simple Machines"

Θα συνεχίσουμε...

Αρμονική Σημειοσειρά και Θεωρήματα των Διχοτόμων. (υπό κατασκευήν...)

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

Η πρωταρχική ανάγκη δια την παρούσα ανάρτηση ήταν να αποτελέσει "παράρτημα" (κατά κάποιον τρόπον) της ανάρτησης υπό τον τίτλο:
«Είτε αγνοείς το θεώρημα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»
Προτιμήθηκε όμως μία αυτόνομη και συνολικότερη παρουσίαση... πράγμα που απαιτεί περισσότερο χρόνο...
Προς το παρόν (σε σχέση προς την πρωταρχική ανάγκη) παρατίθενται, συνοπτικώς τα ακόλουθα:

Περί αρμονικής διαιρεσεως τμήματος ευθείας ΑΒ:
Αποδεικνυεται ότι, δοθέντος του ΑΒ και δύο τμημάτων μ και ν υπάρχει ένα σημείον Λ κείμενο μεταξύ των Α και Β, τέτοιο ώστε ΛΑ/ΛΒ = μ/ν και ένα σημείο Λ΄, μη κείμενο μεταξύ των Α και Β, τέτοιο ώστε ΛΆ/Λ΄Β = μ/ν.
Διά την απόδειξιν θεωρούμε δύο τυχούσες, παράλληλες ευθείες (μ) και (ν), διά των Α και Β αντιστοίχως και τα εξής σημεία επ΄ αυτών:
Μ₁ και Μ₂ επί της (μ), εκατέρωθεν του Α και τέτοια ώστε: ΑΜ₁ = ΑΜ₂ .= μ. 
Ν₁ και Ν₂ επί της (ν), εκατέρωθεν του Β και τέτοια ώστε: ΒΝ₁ = ΒΝ₂ .= ν.
Έστω ότι τα Μ₁ και Ν₁ κείνται επί τα αυτά μέρη της ΑΒ.
Τότε:
Οι ευθείες Μ₁Ν₂ και Μ₂Ν₁ τέμνουν την ευθεία ΑΒ εις το Λ και:
Οι ευθείες Μ₁Ν₁ και Μ₂Ν₂ τέμνουν την ευθεία ΑΒ εις το Λ΄.
Θα παραθέσουμε ένα σχήμα:

1η εικών:

Αρμονική διαίρεση του ΑΒ.

Περί της εν χρήσει ορολογίας:
Λέγομεν ότι:
Τα σημεία Λ και Λ΄ χωρίζουν αρμονικώς το τμήμα ΑΒ.
Τα σημεία Α, Β, Λ, Λ΄αποτελούν αρμονικόν σύνολον (αρμονική σημειοσειρά, αρμονική τετράδα κτλ,).
Τα σημεία Λ και Λ΄ είναι συζυγή αλλήλων ως προς τα Α και Β.

Σημείωση:
Ενδιαφέρον παρουσιάζει μία συγκεκριμένη διαίρεση του ΑΒ, εκείνη διά την οποία ΑΛ/ΛΒ = ΛΒ/ΑΒ (η επονομαζομένη και ..."χρυσή τομή"). Περί αυτής (και των ..."ιδεολογικών" παρενεργειών της) θα ομιλήσουμε προσεχώς - εδώ ή, ίσως σε κάποια άλλη ανάρτηση. Εν τω μεταξύ, οι αναγνώστες μπορούν να εύρουν ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία, εδώ...

Ας συνεχίσουμε με κάτι που εκκρεμεί:

Ο φίλος MEGLIOGIOVENTU , σε ένα σχόλιό του, γράφει (μεταξύ άλλων) και το εξής:

«Τέλοςθα ήθελα να δω και την άλλη απόδειξη,αυτή που είχε αρχικά στο μυαλό του οξυλουργός (με το θεώρημα της εσωτερικήςδιχοτόμου).»

...

Η άλλη απόδειξη:

Ο ξυλουργός, εν αντιθέσει προς τον συνάδελφό του, είχε ακούσει (“κάποτε”) ότι:

Οι διχοτόμοι των γωνιών παντός τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές που είναι απέναντι από τις γωνίες που διχοτομούν εις μέρη ανάλογα των προσκειμένων πλευρών (βλέπε επόμενο σχήμα).

Αυτός, λοιπόν, έφτιαξε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και την ΑΔ, διχοτόμο της γωνίας ΒΑΓ και, ...το κοιτούσε.

2α εικών:

Με το μέτρημα, ...βγαίνει.

Αλλά, πώς αποδεικνύεται;

Ταυτοχρόνως, εσκέπτετο:

«Πού έχω δει, εγώ, να υπάρχουν αναλογίες;... Πώς προκύπτουν αυτές;»

Προφανώς, αυτό συμβαίνει όταν έχουμε όμοια τρίγωνα – πράγμα που δεν έχει διαφύγει της προσοχής του...

Αφού, λοιπόν, έχει ενώπιόν του δύο γωνίες ίσες, τις ΒΑΔ και ΔΑΓ και αφού αυτές έχουν κοινή πλευρά την ΑΔ και αφού, οι ΑΒ και ΑΓ, είναι όροι του πρώτου λόγου της αποδεικτέας αναλογίας, σκέπτεται να θεωρήσει τις διά των Β και Γ καθέτους επί την ΑΔ, τις ΒΔ_Β και ΓΔ_Γ, αντιστοίχως, ώστε να σχηματιστούν δύο όμοια τρίγωνα, τα ΑΒΔ_Β και ΑΓΔ_Γ τα οποία να έχουν τις ΑΒ και ΑΓ (το λόγο των οποίων εξετάζει) ως πλευρές.

3η εικών:

Τα τρίγωνα ΑΒΔ_Β και ΑΓΔ_Γ είναι, προφανώς όμοια.

Άρα: ΑΒ/ΑΓ = ΑΔ_Β/ΑΔ_Γ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Τώρα, βλέπει πως, οι ΒΔ_Β και ΓΔ_Γ, είναι παράλληλες (επειδή είναι κάθετες επί την αυτήν ευθεία, την ΑΔ). 

 

4η εικών:

Τα τρίγωνα ΒΔ_ΒΔ και ΓΔ_ΒΔ είναι, προφανώς όμοια.

Άρα: ΒΔ/ΔΓ = ΔΔ_Β/ΔΔ_Γ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Επομένως, τα τρίγωνα ΒΔ_ΒΔ και ΓΔ_ΓΔ είναι όμοια και έκαστον εξ αυτών έχει κοινή πλευρά με τα προηγούμενα όμοια τρίγωνα, τα , ήτοι:

Η ΒΔ_Β, κοινή πλευρά των τριγώνων ΑΒΔ_Β και ΒΔ_ΒΔ.

Η ΓΔ_Γ, κοινή πλευρά των τριγώνων ΓΒΔ_Γ και ΓΔ_ΒΔ.

Γράφει:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ (1).

ΑΔ/ΔΓ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ (2).

Επειδή τα δεύτερα μέρη των (1) και (2) είναι ίσα, είναι και τα πρώτα, ήτοι:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ.

Όπερ έδει δείξαι.

...

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ισχύει και το:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ΄/ΔΓ΄, όπου Δ΄ το επί της ΒΓ σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. Ας δούμε και τις δύο αποδείξεις σε ένα σχήμα (το προηγούμενο):

5η εικών:

Επειδή έχομε ΒΔ/ΔΓ = ΒΔ΄/Δ΄Γ

(διότι αμφότεροι οι λόγοι ισούνται προς ΑΒ/ΑΓ)

τα Δ και Δ΄ είναι αρμονικά συζυγή αλλήλων ως προς τα Β και Γ.

Τοιουτοτρόπως αποδεικνύεται ότι τα σημεία Δ και Δ΄ είναι αρμονικά συζυγή αλλήλων ως προς τα Β και Γ. (Εκκρεμεί, εισέτι ο σχετικός ορισμός και η θεωρία – εις την αρχήν της αναρτήσεως.)

Παρατήρηση:

Εκάστη κάθετος επί την διχοτόμο μίας γωνίας είναι παράλληλος προς την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας αυτής.

Εκάστη κάθετος επί την εξωτερική διχοτόμο μίας γωνίας είναι παράλληλος προς την διχοτόμο της γωνίας αυτής.

Εάν θεωρήσουμε το σημείο Ε εις το οποίο η ΒΔΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ ή, το σημείο Ζ εις το οποίο την τέμνει η ΒΔ΄Β, θα έχουμε την απόδειξη που συνήθως υπάρχει εις τα βιβλία και δη εις το σχολικό. Εις το σχολικό όμως, υπάρχει μία ...ιδιαιτερότητα: Χρησιμοποιείται ...εσφαλμένο σχήμα.

Περί της ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων:

Είναι γνωστές οι απόψεις του ξυλουργού (του γνωστού αφηγήματος) περί της απαιτουμένης ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων: «Τα σχήματα», όπως λέγει, «διά τον γεωμέτρη, είναι όπως το εργαλεία διά τον μάστορα... Δεν είναι καλός μάστορας αυτός που (π.χ.) χρησιμοποιεί καλέμι εκεί που πρέπει να χρησιμοποιήσει σκαρπέλο...». Αυτά διαλαμβάνονται, κυρίως, από του 5ου έως και του 10ου, κεφαλαίου (βλέπε τα Περιεχόμενα, εδώ), ιδιαιτέρως δε εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «9.Υποχρεωτική και “προαιρετική”,ξυλουργική και μαθηματική ακρίβεια τωνσχημάτων.»

Ας παραθέσουμε μόνο δύο φράσεις από μία στιχομυθία:

«Αυτά», έκαμε κάπως ενοχλημένη, η καθηγήτρια, «είναι προβλήματα σχεδιαστικά – όχι θεωρητικά...»

«Ομολογώ», λέγει ο ξυλουργός «πως δεν κατανοώ την διαφορά: Δηλαδή, η σχεδίαση, είναι πράξη “αθεώρητη”; Ή, η θεωρία, (μπορεί να) είναι μία διαδικασία, σχεδιαστικώς, ανακριβής;»

Κτλ...

Εδώ, θα ασχοληθούμε με την άποψη του ξυλουργού περί της επιστημονικής/μαθησιακής αξίας που έχει η ακριβής σχεδίαση:

Ας αρχίσουμε από το σχήμα του σχολικού βιβλίου (σ. 159) οι σελίδες του οποίου γεμίζουν από ...κενά: Μέσα στα κενά υπάρχου πλαίσια και, μέσα στα πλαίσια σχήματα. Τοιουτοτρόπως, γεμίζουν οι σελίδες από κενά... και το βιβλίο γίνεται ογκώδες... Είναι αυτό που λέμε: «Αραία-αραία, να φαινόμαστε καμμιά σαρανταρέα...» (Τα κενά υποκαθιστούν και δικαιολογούν την έλλειψη της ύλης.) Αλλά, πως να χωρέσει μέσα σε ένα “πλαισιάκι” ένα σχήμα που ...«η τύχη τό 'φερε» και, διά να γίνει σωστό, πρέπει να γίνει και ...“μακρυνάρι” ή, “πατικωμένο”; Και αυτό το “πατικωμένο” είναι άσχημο – εάν μπορούμε να πούμε, «άσχημο», ένα ορθό σχήμα και νομίσουμε, ως “όμορφο”, ένα εσφαλμένο. Αλλά, αν θέλει κανείς, τα σχήματά του να ομοιάζουν όπως εκείνα που υπάρχουν στα “σοβαρά” βιβλία και δεν γνωρίζει τον τρόπο... κοιτάζει το σχήμα του και λέγει: «ας το “κλέψουμε” λιγάκι» (έννοια μαστορική, που όταν χρησιμοποιείται από άτεχνους έχουμε αποτελέσματα όπως αυτό της εικόνος που ακολουθεί):

6η εικών:

Ερώτηση: Μπορούμε να έχουμε ένα σχήμα:

Ακριβές, όπως το κάτω αλλ΄, όχι “πατικωμένο”;

“Μαζεμένο” όπως το επάνω αλλ΄ όχι εσφαλμένο;

(Το τρίγωνο ΑΒΖ ...δεν μοιάζει και πολύ, με ισοσκελές...)

Η επιστημονική/μαθησιακή λειτουργία της ορθής σχεδίασης:

Δεν θα αναπτύξουμε (κάποια) θεωρία αλλά, θα την εφαρμόσουμε επί του συγκεκριμένου θέματος:

Σημείωση:

Θα χρησιμοποιηθούν και όροι μαθηματικώς “αδόκιμοι”, καθόσον, δεν υπάρχουν εισέτι(;) δόκιμοι όροι διά τις ενέργειες εις τις οποίες θα προβούμε:

Ο ευκολότερος τρόπος δια να γίνει ένα ακριβές σχήμα διά του οποίου να αποδεικνύεται το θεώρημα (ή, τα θεωρήματα) των διχοτόμων είναι ο εξής:

1ον: Σχεδιάζουμε δύο ευθείες ΑΔ και ΑΔ΄, καθέτους προς αλλήλας και τις θεωρούμε ως διχοτόμους (εσωτερική και εξωτερική, αντιστοίχως) της γωνίας Α, τριγώνου ΑΒΓ.

2ον: Ορίζουμε μία ευθεία ΑΓ΄, διερχομένη διά του Α και δι΄ ενός τυχόντος σημείου Γ΄.

3ον: Ορίζουμε την ευθεία ΑΒ΄, συμμετρική της ΑΓ΄ ως προς την ΑΔ.

4ον: Διά παν σημείο Β της ΑΒ΄ και διά παν σημείο Γ της ΑΓ΄, ορίζεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο έχει την ΑΔ ως διχοτόμο της γωνίας Α και την ΑΔ΄ ως εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Α.

7η εικών:

Τα τέσσαρα βήματα της κατασκευής του σχήματος:

Τρίγωνο ΑΒΓ μετά των διχοτόμων του ΑΔ και ΑΔ΄.

Το Γ΄ (άρα και την ΑΓ΄) το επιλέγουμε κατά βούλησιν.

Το Β΄ είναι υποχρεωτικό (συμμετρικό του Γ΄ ως προς την ΑΔ).

Τα Β και Γ, τα επιλέγουμε κατά βούλησιν.

Τώρα ας δούμε κάτι πιο σύνθετο:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ΚΛΜ΄Ν΄ (εικών που ακολουθεί) και ότι ΜΕΣΑ σε αυτό θα πρέπει ΝΑ ΧΩΡΕΣΕΙ, “ΙΣΑ-ΙΣΑ”, το σχήμα του εν λόγω θεωρήματος. Και έστω πως το μέρος της ευθείας ΑΓ, του τριγώνου ΑΒΓ το κείμενο προς το μέρος του Α προς το οποίο δεν κείται το Γ θα πρέπει να είναι ΑΓ/2. Δηλαδή, το λοιπό σχήμα ΘΑ ΧΩΡΑΕΙ “ΙΣΑ-ΙΣΑ” σε ένα ορθογώνιο, το ΚΛΜΝ, το ύψος του οποίου θα είναι τα 2/3 του δοθέντος.

8η εικών:

Όταν το Χ “κινείται” επί της ΜΝ,

το Α “κινείται” επί μίας παραλλήλου της.

Ας δούμε πώς διαμορφώνεται το πρόβλημα (επόμενο σχήμα):

• Η κορυφή Α του ΑΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΜΝ.
• Η κορυφή Γ του ΑΒΓ θα ταυτίζεται με την κορυφή Λ του ορθογωνίου.
• Το σημείο Δ΄, τομή της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του ΑΒΓ μετά της ΒΓ θα ταυτίζεται με την κορυφή Κ του ορθογωνίου.
• Η κορυφή Β του ΑΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΚΛ.
• Το σημείο Δ, τομή της διχοτόμου της γωνίας Α του ΑΒΓ μετά της ΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΚΛ. –Χμμμ, αλλά όχι “κάπου”, εφ΄ όλης της ΚΛ: Θα κείται μεταξύ του Κ΄ και του Λ, όπου Κ΄ το αντιδιαμετρικό του Κ ως προς ένα κύκλο (Ο) που εφάπτεται της ΜΝ.
• Το Α, με την σειρά του, θα ανήκει σε ένα κύκλο (Ω) το κέντρο του οποίου θα κείται επί της ΚΛ, θα διέρχεται διά του Κ και θα είναι μεγαλύτερος ή, ίσος του (Ο) και μικρότερος του κύκλου διαμέτρου ΚΛ. Αυτό συμβαίνει διότι το Α είναι ένα σημείο από το οποίο το τμήμα Δ΄Δ φαίνεται υπό γωνίαν ορθήν (αφού οι διχοτόμοι είναι κάθετοι προς αλλήλας). Και έστω πως ο κύκλος, αυτός, τέμνει την ΚΛ εις το μέσον του Κ΄Λ, το Δ.
  
  

9η εικών:

Από την στιγμή που θα επιλέξουμε τον κύκλο (Ω),

επί του οποίου κείται η κορυφή Α,... «ο κύβος ερίφθη»

(...μέχρι την επομένη επιλογή κύκλου – εάν απαιτηθεί).

10η εικών:

Η πλευρά ΑΒ του τριγώνου είναι

η συμμετρική της ΑΓ, ως προς την ΑΔ.

Κατόπιν όλων αυτών, ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα δύο διαδικασιών. Μίας αμέθοδης και μίας μεθοδικής:

11η εικών:

Τα αποτελέσματα δύο διαδικασιών:

Μίας αμέθοδης και μίας μεθοδικής.

Σχόλιο:

Ο τρόπος που χειριστήκαμε το θέμα είναι (παρ΄)όμοιος προς αυτόν διά του οποίου χειριζόμαστε κάθε γεωμετρική κατασκευή, πράγμα που χρειάζεται πολλές φορές, προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα καλό γεωμετρικό σχήμα. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η γεωμετρική κατασκευή αφορούσε την εγγραφή ενός σχήματος εντός ενός άλλου. Εν προκειμένω, είχαμε άπειρες λύσεις (εξαρτώμενες από την επιλογή του κύκλου (Ω)). Αυτό θα μπορούσε να είχε εκλείψει εάν είχαμε θέσει μία επί πλέον προϋπόθεση διά το σχήμα, λόγου χάριν, μία των γωνιών του τριγώνου να ήταν ίση προς μία δοθείσα γωνία φ (παραλείπεται η εξέταση).